segunda-feira, julho 10, 2006

Figurinhas e o Paradoxo dos Aniversários

Outro dia eu comprei alguns pacotes de figurinhas para a minha sobrinha e estávamos reclamando da quantidade de repetidas quando percebi que estava vendo uma manifestação do "paradoxo dos aniversários".

Para quem não conhece, este é um problema clássico de estatística: o professor pergunta para uma turma de 30 alunos se eles acham provável que pelo menos dois deles façam aniversário no mesmo dia. Os alunos acham que é improvável, o professor pergunta as datas de aniversário de cada um e, para surpresa dos alunos, encontra dois que fazem anversário no mesmo dia.

O "paradoxo" surge pelo fato de cada aluno pensar na probabilidade de algum dos outros fazer aniversário no mesmo dia que ele (29/365 = 8% *).

Este é daqueles problemas de estatística que se resolve mais facilmente calculando a probabilidade da negação. No caso, a probabilidade de 30 pessoas terem datas de aniversário distintas.

Para a primeira pessoa, a probabilidade é um. Para a segunda pessoa, a probabilidade é 364/365. Para a terceira pessoa é 363/365, múltiplicado pela probabilidade das duas anteriores não fazerem aniversário no mesmo dia (pois queremos que as duas coisas aconteçam simultaneamente), ou seja 364/365 * 363/365. Analogamente, para a quarta pessoa teremos (364*363*362)/(365*365*365). Para trinta pessoas o resultado é aproximadamente 0,29 (29%). Daí se conclui que a probabilidade de pelo menos duas pessoas em um grupo de 30 fazerem aniversário no mesmo dia é de 70%.

E as figurinhas? O album em questão tem 240 figurinhas e cada pacote vem com quatro. Isto resulta nas seguintes probabilidades de termos pelo menos uma figurinha repetida:

1 pacote = 2%
2 pacotes = 11%
3 pacotes = 24%
4 pacotes = 40%
5 pacotes = 55%
6 pacotes = 69%
7 pacotes = 80%
8 pacotes = 88%
9 pacotes = 93%
10 pacotes = 96%

Não é muito animador, certo?

* Estou desconsiderando o 29/fev. Fica como exercício para o leitor corrigir as probabilidades considerando os anos bissextos.

Um comentário:

Wanderley Caloni Jr disse...

Deve existir alguma relação nesse cálculo de probabilidade negativa com a teoria de que todo ser humano conhece todo ser humano em no máximo 5 (6? 7? 20?) níveis. Do contrário, a teoria intuitivamente não faz sentido.